TextBook Таблиця 33
Розрахунок підсистеми початкових моментів_
| Порядок (степінь) к, | Формула | Зміст |
| 0Ъп, | 1 | |
| 1 | ,, Ех'п М,-- | х (середня арифметична) |
| 2 | М2 =-- | %1 (середня квадратів варіант) |
| 3 | 3щ | х3 (середня кубів варіант) |
| 4 | х4 (середня четвертих степенів варіант) |
Схема розрахунку підсистеми центральних моментів від нульового до четвертого порядків наведена в таблиці 34.
Обчислення центральних моментів можуть бути значно спрощені, якщо знати властивості цієї підсистеми моментів. Розглянемо їх.
1. Якщо усі варіанти статистичного ряду зменшити або збільшити на якесь постійне число С, то величина центрального моменту к -го порядка не зміниться. Так, якщо центральний момент розрахувати за зменшеними (~с) або збільшеними (+с) варіантами, то = .
Таблиця 34
Розрахунок підсистеми центральних моментів_
| Порядок (степінь),к | Формула | Зміст | Взаємозв'язок з початковими моментами |
| Б(х; - х)° щ Мі - " Іп, | 1 | - | |
| 1 | Б( х1 - х)1пі | М, -М, | |
| 2 | Б(х; - х)2 п і | а2 | м2 - м,2 |
| 3 | Б( х1 - х)3 п | Використовується для характеристики асиметрії розподілу | м 3 - зм 2м1 + 2м3 |
| 4 | Б(х; - х)4 п іЪп1 | Використовується для характеристики гостровершиності | М4 - 4М3М1 + 6М2М2 - 3М4 |
2. Якщо усі варіанти статистичного ряду зменшити або збільшити в одне і те ж число раз (г), то центральний момент к -го порядку зменшиться або збільшиться у їк разів. Тобто якщо
центральний момент к -го порядку ( ) розраховувати за збільшеними у г разів варіантами (Х2), то величина його
становитиме = ^2 . Аналогічно одержуємо за зменшеними в г разів
- м
варіантами: ^ .
Отже, одержавши центральний момент ) За зміненим рядом [напр., *< =(х' ~с):2 ], можна обчислити центральний момент к -го порядку для початкового ряду. Для випадку, коли варіанта зменшена на С одиниць, і це значення (*< ~с) у свою чергу зменшити у % разів [(*, -с):г 1, т0 центральний момент (к -го порядку буде дорівнювати:
[і = [і1 -їК.
Знання розглянутих вище властивостей підсистеми центральних моментів дозволить значно скоротити обсяги обчислювальних робіт, особливо у тих випадках, коли вибіркова сукупність представлена громіздкими розмірами величин досліджуваних ознак.
Як було зазначено раніше, центральний момент другого порядку (^2) являє собою дисперсію (ст2). Якщо корінь квадратний з дисперсії (тобто середнє квадратичне відхилення) прийняти за стандарт ^Л^"2), то відношення центрального моменту к-го порядку до стандарту в к-тій степеня буде називатися нормованим моментом. Загальна його формула має вигляд:
т = Мі =
ЧМ2)1 ° .
Згідно з наведеною вище формулою нормовані моменти від першого до четвертого порядків можна записати у такому
ВИГЛЯДі: о о а а о о .
Сторінки
В нашій електронній бібліотеці ви можете безкоштовно і без реєстрації прочитати «Статистика» автора Опря А.Т. на телефоні, Android, iPhone, iPads. Зараз ви знаходитесь в розділі „§ 5.4. Моменти статистичного розподілу“ на сторінці 2. Приємного читання.