Розділ «4. СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ»

Методи статистичного оцінювання параметрів

Метод моментів

За цим методом (запропоновано К. Пірсоном) певна кількість вибіркових моментів (початкових vk або центральних mk, або тих і інших) прирівнюють до відповідних теоретичних моментів ( ~k або щ ) розподілу випадкової величини X. Нагадаємо, що вибіркові моменти визначаються за формулами (2.13 - 2.20 ), а відповідні теоретичні моменти - за формулами (3.14 - 3.39). Отже, оцінки невідомих параметрів є рішенням системи рівнянь. Кількість рівнянь визначається кількістю параметрів, що підлягають оцінюванню.

Приклад 4.1. Визначити точкові оцінки випадкової величини X, що має нормальний розподіл, за методом моментів.

Рішення:

Щільність нормального розподілу випадкової величини X має вигляд

f (x; fi,a ) = exp<!--- з двома невідомими параметрами: серед-

л/2я-сг2 І 2° J

нім іл = M[X] = v1 (3.36) і дисперсією о2 = D[X] = m2 (3.37), які є першим

початковим і другим центральним теоретичними моментами.

Відповідні вибіркові моменти мають вигляд: v1 = - Еxi і m2 = v2 - vx2 .

n і=1

Звідси визначається система з двох рівнянь:

1 "

ﳥ1

Рішення системи рівнянь дає оцінки середнього juMM і дисперсії сгмм за методом моментів

Ь = 2 (4.7)

<т = з

Як бачимо, точковими оцінками середнього і дисперсії випадкової величини x, що має нормальний розподіл, є вибіркові середнє X і дисперсія з2.

Оцінювання за методом моментів є спроможним, порівняно простим у розрахунках, але за показником ефективності не "найкращим". Основним методом отримання оцінок параметрів генеральної сукупності вважається метод максимальної правдоподібності, запропонований Р.Фішером.