Розділ «ЛЕКЦІЯ 5. Види простих тверджень. Безпосередні виводи»

5.1. Види простих тверджень

Змістом значної частини тверджень є встановлення відношення між обсягами імен (імена, які містяться в твердженнях, тобто суб'єкт і предикат твердження, називатимемо термінами твердження). Наприклад, словами "Усі ... і тільки ..." у твердженні "Усі 5 і тільки 5 є Р" суб'єкт мовлення позначає, що між термінами 5 і Р наявне відношення рівнообсяговості; словами "Усі...але не тільки..." у твердженні "Усі 5, але не тільки 5, є Р" суб'єкт мовлення позначає, що між термінами 5 і Р наявне відношення підпорядкованості (5 є видом Р). Словами "Жоден ... не ..." у твердженні "Жоден 5 не є Р" суб'єкт мовлення позначає, що між термінами 5 і Р наявне відношення несумісності. За тим, які відношення між обсягами імен однозначно встановлюються відповідними видами тверджень, виділимо такі найпоширеніші твердження (табл. 5.1):

Таблиця 5.1. Найпоширеніші види елементарних простих тверджень

Суттю тверджень є фіксування відношень між обсягами імен, тому для виявлення всіх різновидів тверджень достатньо скористатися видами відношень між іменами за обсягом. Оскільки таких відношень є шістнадцять, то й елементарних простих тверджень також повинно бути шістнадцять (усі вони у словесному вигляді та в символьному позначенні за допомогою булевих функцій наведені в табл. 5.2). Кожне з цих шістнадцяти видів тверджень е кількісно визначеним (оскільки кожним з них однозначно зафіксовано, про яку кількість об'єктів стверджують: про всі чи про частину) й однозначним, бо кожним із них зафіксовано тільки один вид відношення між обсягами імен.

Твердження називають видільними, якщо вони містять слова "і тільки", й невидільними, якщо вони містять слова "але не тільки".

Таблиця 6.2. Види елементарних простих тверджень

Твердження називають загальними, якщо вони містять логічний термін "усі", і частковими, якщо вони містять логічний термін частина. Визначеність твердження за кількістю об'єктів, про які стверджують, називатимемо кількісністю твердження.

Твердження поділяють також на стверджувальні й заперечні (хоча і в тих, і в інших стверджують). Стверджувальними твердженнями фіксують тотожність певних множин об'єктів (наявність певної ознаки в об'єктів, позначених суб'єктом твердження). Заперечними твердженнями фіксують несумісність певних множин об'єктів (відсутність певної ознаки в об'єктів, позначених суб'єктом твердження). Цю визначеність (що саме стверджують - тотожність чи несумісність) називатимемо якісністю твердження.

Важливо зазначити, що частковим стверджувальним і частковим заперечним твердженням відповідають одні й ті самі діаграми відношення обсягів. Отже, скажімо, відношення між обсягами термінів у твердженні Частина & і тільки вони є Р і в твердженні Частина в не є Р і тільки 5 є Р можна описати однією й тією ж булевою функцією - реплікацією. Однак це лише частина формального запису таких тверджень. Крім того, треба зафіксувати, що в зазначених висловах стверджують про різну частину 8. У стверджувальному частковому вислові стверджують про ту частину 5, яка є спільною з Р, а в заперечному частковому вислові стверджують про ту частину 5, яка є несумісною з Р (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Діаграми Ейлера, якими графічно зображено: а - відмінність між частковими стверджувальними; б - частковими заперечними видільними твердженнями; штрихуванням позначено ту підмножину об'єктів з ознакою S, про яку стверджують у відповідному твердженні

Аналіз діаграм Ейлера, які відповідають заперечним твердженням, дає підстави стверджувати, що заперечною часткою не в усіх випадках (тобто в усіх видах заперечних тверджень) позначають несумісність множин (рис. 5.2). Уразі часткового заперечного вислову стверджують про несумісність з Р заштрихованої на рис. 5.2, б частини 5, тоді як у разі загальнозаперечного вислову стверджують про несумісність з Р усіх S.

Рис. 5.2. Діаграми Ейлера, якими графічно зображено відмінність між: а - загальнозаперечним; б - частковим видільним заперечним твердженнями; штрихуванням позначеному підмножину об'єктів з ознакою S, про яку стверджують у відповідному вислові

Подібно до того, як однакове відношення обсягів є в часткових стверджувальних і часткових заперечних твердженнях, однакові відношення обсягів є у загальностверджувальних невидільних (Усі Б, але не тільки вони, є Р) і частковостверджувальних видільних (Частина 5 і тільки вони є Р) твердженнях (рис. 5.3). Водночас, незважаючи на те, що відношення те саме (підпорядкованість), у разі загальностверджувального невидільного вислову фіксують відношення підмпожини до множини (цьому відношенню відповідає імплікація), а в разі часткового видільного вислову - навпаки, відношення множини до підмпожини (цьому відношенню відповідає реплікація).

Рис. 5.3. Діаграми Ейлера, якими графічно зображено відмінність між: а - загальностверджувальними невидільними; б- частковими стверджувальними видільними висловами; штрихуванням позначено ту підмножину об'єктів з ознакою S, про яку стверджують у відповідному вислові

Крім проаналізованих елементарних (базових) простих тверджень, є також твердження, створені шляхом їхнього поєднання. Зокрема, такими є кількісно визначені неоднозначні твердження (табл. 5.3). Вони є неоднозначними, оскільки не фіксують однозначно вид відношення між обсягами імен (у цьому разі можливим є одне з кількох відношень). Наприклад, ми знаємо, що всі студенти групи 5 відвідали музей художника Р. Однак не знаємо, чи був у цьому музеї ще хтось, крім них. Якщо більше нікого не було, то це відношення рівнообсяговості, й у такому разі треба сказати Усі Б і тільки вони є Р. Якщо в згаданому музеї був ще хтось (принаймні одна людина), то це відношення підпорядкованості, й у такому разі треба сказати Усі Б, але не тільки вони, є Р. Оскільки ми не знаємо, яке з цих відношень чинне, то не уточнюємо - формулюванням Усі Б є Р зафіксовано, що чинним може бути одне з цих двох відношень.

Таблиця 5.3. Кількісно визначені неоднозначні прості твердження

Крім описаних видів тверджень, існують також інші, зокрема такі, які починаються зі слів "Певна кількість"(в іншому варіанті "Існують такі які..."). Ці формулювання означають "усі або частина". Наприклад, побачивши трьох опитаних свідків перед залом судового засідання, мовець не може сказати ані того, що всі свідки опитані (можливо, ще є неопитані свідки), ані того, що частина свідків опитана (можливо, неопитаних свідків більше нема). У такому разі мовлять "Певна кількість (тобто всі або частина) свідків опитана". Якщо відомо, що всіх свідків є три, то в повному вигляді інформацію про кількість опитаних свідків фіксують таким твердженням: Усі три свідки опитані. (У такому формулюванні визначено і абсолютну, і відносну кількість об'єктів, про які стверджують).

Декілька варіантів такого твердження (з різним значенням слів певна кількість) розглянуто нижче.

1. Певна кількість