Розділ «2.3. Суперечливі складні твердження»

Інструменти. Алгоритм виявлення суперечності у послідовності пов'язаних тверджень

Для виявлення, чи є аналізоване складне твердження суперечливим, треба послідовно виконати такі дії:

1. Записуємо складне твердження у символьному вигляді.

2. Перед ним (у тому ж рядку) послідовно записуємо всі його прості твердження-складники.

3. Під простими твердженнями-складниками записуємо всі варіанти комбінацій значень істинності цих тверджень.

4. Для кожного з варіантів значень істинності визначаємо, чи є аналізоване твердження внутрішньосуперечливим. Розпочинаємо такий аналіз з виявлення значення істинності тих складних тверджень, які є елементами інших складних тверджень.

Приклад 1: виявлення суперечності шляхом побудови таблиці істинності твердження: Падає дощ і неправда, що падає дощ:

1. Уводимо позначення Падає дощ -р, записуємо аналізоване твердження у символьному вигляді виразом (р л р).

2. Записуємо перед аналізованим твердженням прості твердження-складники (у цьому складному твердженні є лише одне просте твердження-складник - р).

3. Під ним записуємо стовпцем усі можливі варіанти значень його істинності (таких е лише два - істинно та хибно).

4. Для того щоб з'ясувати значення істинності кон'юнктивного твердження (р л р) за першого варіанта значень істинності твердження р, треба мати значення істинності твердження р. З таблиці значення істинності

заперечення отримаємо: у разі, коли р є істинним, р є хибним. Тому у першому рядку таблиці, в якому р істинне, підставимо символ х (хибно). І навпаки, у другому рядку, в якому р позначене як хибне (символ х у стовпці під р), позначаємо як істинне.

Для першого варіанта значень істинності р (р істинне) у таблиці істинності кон'юнкції знаходимо, якщо перше твердження-складник (у нашому прикладі р) є істинне, а друге (р) -

хибне, отже, кон'юнктивне твердження є хибним. Тому в першому рядку таблиці під символом кон'юнкції записуємо значення істинності складного твердження - х (хибно).

Для другого варіанта значень істинності (р хибне, відповідно до цього р істинне) з таблиці істинності кон'юнкції отримуємо, що і в цьому варіанті кон'юнктивний вислів (р л р) є хибним. Тому в другому рядку таблиці під символом кон'юнкції також ставимо символ х.

Оскільки в стовпці під кон'юнкцією зафік-

совано, що незалежно від того, чи твердження р є істинним (перший рядок), чи хибним (другий рядок), складне твердження (р л р) є хибним, то робимо висновок: аналізоване твердження є суперечністю; воно логічно хибне незалежно від значень істинності простих тверджень-складників.

Приклад 2: побудувати таблицю істинності твердження ((р -> д) -> (д -> р)).

Розв'язок цього завдання, без розбивання на окремі етапи, наведено ліворуч.