Розділ без назви (3)

Щодо першого з цих двох питань, здається, майже ніхто не помітив, що Платон, проявляючи великий інтерес до проблеми ірраціональності, не став би запроваджувати дві ірраціональні величини √2 та √3 (про які він недвозначно говорить в уривку 54 b), якби він не прагнув представити саме ці ірраціональні числа як неподільні далі елементи його світу. (Ф. Корнфорд у своїй книжці «Космологія Платона» на ст. 214 та ст. 231 довго обговорює обидва ці питання, але запропоноване ним розв'язання обох проблем — чи «гіпотеза», як він називає його на ст. 234, — здається мені абсолютно неприйнятним. Якби Платон насправді прагнув досягти певної «традиції», подібної до тієї, що розглядається Корнфордом — хоча Платон ніде не натякає на існування чогось меншого за те, що Корнфорд називає «ступенем В»,— то йому було б досить поділити пополам сторони елементарних квадратів та рівнобедрених трикутників, які Корнфорд називає «ступенем В», побудувавши кожний із них з чотирьох елементарних фігур, що не містять у собі ірраціональних величин.)

Втім, якщо Платон прагнув запровадити ці ірраціональні величини у світ як сторони субелементарних трикутників, з яких складено все на світі, тоді він повинен був вірити, що в такий спосіб можна розв'язати проблему. А ця проблема, на мою думку, полягала у «природі (спільномірності та) неспільномірності» («Закони», 820 с). Звісно, цю проблему особливо важко було розв'язати на основі космології, побудованої на якомусь різновиді атомістичної теорії, оскільки ірраціональні величини не є кратними хоч якоїсь одиниці, що є виміром раціональних величин. Втім, якщо одиниці виміру самі виражені відтинками, що перебувають в «ірраціональних співвідношеннях», тоді можна пояснити цей украй важливий парадокс, адже такими одиницями можна виміряти як раціональні, так й ірраціональні величини, а існування ірраціональних величин перестає бути незбагненним чи «ірраціональним».

Проте Платон знав, що, крім √2 та √3, є й інші ірраціональні величини, оскільки в «Теететі» згадує про відкриття нескінченної послідовності ірраціональних квадратних коренів (в уривку 148 b він також говорить, що «подібні міркування справедливі й стосовно твердих тіл», проте це не обов'язково повинно стосуватися кубічних коренів, а може відноситись до діагоналі куба, тобто до √3). У «Гіплії Великому» він також згадує (303 b-с; див. Heath, op. cit., p. 304) той факт, що шляхом додавання (чи інших арифметичних дій) ірраціональних величин можна здобути інші ірраціональні числа (але також і раціональні; тут Платон, певно, натякає, що, наприклад, 2-√2 дорівнює ірраціональному числу, і навпаки, здобуте число, якщо до нього додати √2, звісно, даватиме раціональну величину). З огляду на ці обставини стає зрозумілим, що якби Платон хотів розв'язати проблему ірраціональності шляхом введення своїх елементарних трикутників, то він повинен був вважати, що всі ірраціональні величини (чи принаймні кратні їм числа) можна вивести шляхом додавання (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3 і кратних їм чисел. Звісно, це було би помилкою, але в нас є всі підстави вважати, що на той час не існувало жодних доказів зворотного. А твердження, що є лише два різновиди атомарних ірраціональностей — діагоналі квадрата і куба — і що всі інші ірраціональні величини можна арифметичним шляхом вивести з (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3, могло видатися досить вірогідним, зважаючи на відносний характер ірраціональних величин. (Я маю на увазі той факт, що ми можемо з цілковитим правом назвати ірраціональною як діагональ квадрата з одиничною стороною, так і сторону квадрата з одиничною діагоналлю. Слід також пам'ятати, що Евклід у X книжці, визначенні 2 і далі називає всі неспільномірні квадратні корені «спільномірними через їхні квадрати».) Отож, Платон цілком міг вірити у правильність цього твердження, навіть якщо він, певно, і не мав у своєму розпорядженні неспростовного доказу свого припущення. (Вперше це твердження, очевидно, спростував Евклід.) У тому ж фрагменті з «Тімея», де Платон викладає свої міркування, чому він віддав перевагу субелементарним трикутникам, є одне незаперечне посилання на певну недоведену гіпотезу, про яку він пише («Тімей», 53 c-d): «усі трикутники можна вивести з двох, що мають по одному прямому куту і по два гострих, але при цьому в одного (півквадрата) по обидва боки від прямого кута лежать рівні кути величиною в одну й ту саму частку прямого кута, обмежені рівними сторонами, а в іншого (піврівнобедреника) — нерівні кути, обмежені нерівними сторонами. Саме в них, ми припускаємо, початок... усіх інших тіл, покладаючись у цьому на ймовірність (чи вірогідне припущення), поєднану з необхідністю (доказом). Принципи, віддалені ще більше, ніж ці два, відомі лише богам, а з людей їх знають тільки ті, кого вподобають на небесах». І далі, пояснивши, що є безліч нерівнобедрених трикутників, з яких слід обирати найкращі, й, сказавши, що цими найкращими є половинки рівнобедреників, Платон мовить («Тімей», 54 а-b; Корнфорд був змушений пом'якшити цей уривок, щоб вкласти його в рамки своєї інтерпретації; див. його прим. 3 до ст. 214): «Це вимагає занадто довгого обгрунтування, але якби комусь пощастило дослідити це питання і довести саме такі властивості, то ми із задоволенням визнали б таку людину переможцем». Платон не пояснює, що він має на увазі під «такими властивостями», — певно, це якась (гіпотетична) математична властивість, що виправдовує твердження, згідно з яким після вибору трикутника, який містить √2, «найкращим вибором» буде трикутник, що містить у собі √3. З огляду на наведені вище міркування, я вважаю, що ця Платонова властивість була гаданою відносною раціональністю інших ірраціональних величин, тобто величиною, співвідносною з одиницею, квадратним коренем з двох та квадратним коренем з трьох.

Мал. 1. Платонів елементарний квадрат, побудований з чотирьох субелементарних рівнобедрених прямокутних трикутників

Мал. 2. Платонів елементарний рівносторонній трикутник, побудований з шести субелементарних нерівнобедрених трикутників

Мал. 3. Прямокутник ABCD, площа якого перевищує площу кола менше, ніж на півтори тисячні

(4) Додатковим доказом на користь нашої інтерпретації, хоча я й не знайшов у Платонових текстах хоч якихось свідоцтв, що підтверджували його, можуть послужити викладені далі міркування. Цікаво, що сума √2+√3 дуже близька до значення числа π. (Див. Е. Borel. Span and Time, 1926, 1960, p. 216; мою увагу до цього факту, щоправда в іншому контексті, привернув В. Марінеллі.) Неточність тут складає лише 0,0047, тобто менше ніж півтори тисячних від значення числа π. Навряд у той час було відоме точніше значення числа π. Одне з пояснень цього цікавого факту може полягати в тому, що середнє арифметичне площ окресленого шестикутника та вписаного восьмикутника є добрим наближенням до площі кола. Тепер стає зрозумілим, що, з одного боку, Брайсон досліджував властивості окреслених та вписаних багатокутників (див. T.Heath, op. cit., p. 224), а, з другого боку, що Платон цікавився додаванням ірраціональних величин, а отже, повинен був спробувати здобути суму √2+√3. Отже, є два способи, за допомогою яких Платон міг би здобути приблизну рівність √2+√3≈π, і другий з цих способів був настільки очевидним, що Платон, певно, не міг не помітити його. Цілком вірогідно, що Платон знав цю рівність, але не міг довести, чи є вона вираженням точної рівності, чи лише наближенням.

Але якщо це й справді так, тоді ми, певно, можемо відповісти на «друге питання», згадане у пункті (3), а саме, питання, чому Платон побудував свій елементарний квадрат із чотирьох субелементарних трикутників (півквадратів), а не з двох, і елементарний рівнобедреник з шести субелементарних трикутників (піврівнобедреників), а не з двох. Якщо поглянути на перший з двох наведених вище малюнків, то ми побачимо, що ці побудови наголошують на центрі окреслених та вписаних кіл, і в обох випадках, на радіусах окресленого кола. (У випадку з рівнобедреником на малюнку є також радіус вписаного кола, але очевидно, що Платон мав на увазі окреслене коло, оскільки він називав радіус «діагоналлю», коли описував метод побудови рівнобедреника; див. «Тімей», 54 d-e та 54 b.)

Якщо ми тепер візьмемо ці два окреслені кола, або точніше, впишемо елементарні квадрат та рівнобедреник у коло з радіусом r, то виявимо, що сума сторін цих двох фігур наближається до rπ. Інакше кажучи, Платонова побудова пропонує одне з найпростіших розв'язань проблеми квадратури кола, що й доводять три наші малюнки. У світлі сказаного можна припустити, що Платонова гіпотеза, а також його готовність «визнати переможцем» того, хто зможе довести його правоту, про що ми говорили у пункті (3), зачіпають не лише загальну проблему спільномірності ірраціональних величин, але також і специфічні проблеми того, чи відповідає сума √2+√3 площі одиничного кола.

Я повинен ще раз наголосити, що мені невідомий жоден прямий доказ того, наче Платон мав на увазі саме це. Але, якщо зважити на непрямі свідоцтва, наведені мною тут, то моя гіпотеза не видасться абсолютно безпідставною. Я не думаю, що вона менш обгрунтована, ніж гіпотеза, висунута Корнфордом, і якщо вона справедлива, то ми здобуваємо переконливіше пояснення відповідних уривків.

(5) Якщо у нашому твердженні, висунутому в пункті (2) цієї примітки, є бодай якийсь смисл, що Платонове гасло про необхідність знання, крім арифметики, ще й геометрії, так само як і в припущенні, що цей наголос було зроблено у зв'язку з відкриттям ірраціональності квадратних коренів із двох та трьох, тоді це до певної міри може прояснити також Платонову теорію «ідей» та зміст широковідомих Арістотелевих зауважень з цього приводу. Ці міркування допомогли б нам пояснити чому, у світлі цього відкриття, піфагорейське уявлення про те, що речі (форми, тіла) є числами, а моральні ідеї — співвідношеннями чисел, повинно було зникнути чи, можливо, поступитися місцем, як це відбулося в «Тімеї», доктрині, згідно з якою елементарні форми або границі («peras»; див. уривок з «Менона», VI d-75 а, який згадувався раніше), чи форми або ідеї речей є трикутниками. І водночас ми одержали б пояснення, чому лише через одне покоління Академія повернулася до піфагорейської доктрини. Як тільки забулося потрясіння від відкриття ірраціональності, математики почали звикати до ідеї, що ірраціональні величини повинні бути числами, незважаючи ні на що, оскільки вони перебувають в елементарних співвідношеннях більшого чи меншого до інших (раціональних) чисел. На цьому ступені зникає упередженість щодо піфагореїзму, хоча після прийняття ірраціональності теорія про те, що форми є числами або співвідношеннями чисел, набула трохи іншого змісту (що, певно, не до кінця усвідомлювали прихильники цієї нової теорії). Див. також Додаток І до першого тому. *

6.10. Відоме зображення Феміди із зав'язаними очима, тобто такої, що не зважає на стан позивача, і з терезами в руці, що символізують рівність та справедливе розв'язання позовів та суперечливих інтересів,— це символічне уособлення егалітарної ідеї справедливості. Це уособлення, втім, не можна використати як аргумент на користь твердження, наче ця ідея була відома за Платонового життя. Як люб'язно повідомив мене професор Гомбріх, таке зображення Феміди виникло в епоху Відродження під впливом уривка з Плутархової «Ізіди та Озіріса», а не творів письменників класичної Греції. * З іншого боку, зображення Діке з терезами є класичним (про це зображення, зроблене Тимокартом, який жив через покоління після Платона, див. К. Eisler.The Royal Art of Astrology, 1946, pp. 100, 266, plate 5) і засновується, певно, на Гесіодовому ототожненні сузір'я Діви з Діке (з огляду на те, що поруч були Терези). У світлі інших доказів, наведених тут, щоб показати зв'язок справедливості чи Діке з рівним розподілом, терези в її руках, певно, відіграють таку саму роль, що й терези в руках Феміди.

6.11. «Держава», 440 c-d. Уривок завершується характерним порівнянням із сторожовим собакою: «Хіба що його заспокоїть голос власного розуму, що відкличе його, подібно до того, як пастух відкликає свого собаку». Див. прим. 32 (2) до розділу 4.

6.12. Платон, по суті, має це на увазі, коли двічі показує, що Сократ сумнівався, де йому слід шукати справедливість. (Див. 368 b та наст., 432 b та наст.)

6.13. Адам, очевидно, не помітив (під Платоновим впливом) егалітарної теорії у своїй примітці до «Держави», 331 е та наст., де він, мабуть, справедливо зауважує, що «погляд, згідно з яким Справедливість полягає в тому, щоб чинити добре друзям та зле ворогам, цілком вірно віддзеркалює мораль, що переважала тоді в Греції». Проте він помиляється, говорячи далі, що така точка зору «була загальноприйнятою», оскільки забуває про своє власне свідоцтво (прим. до 561 е 28), яке доводило, що рівність перед законом («ізономія») «була гордим гаслом демократії». Див. також примітки 14 та 17 до цього розділу.

Одна з перших (якщо не найперша) згадка про «ізономію» міститься в уривку з творів лікаря Алкмеона (початок п'ятого століття; див. Д5, розд. 24, фр. 4), який вважає ізономію умовою здоров'я й протиставляє її «монархії», тобто владі однієї людини над багатьма. Тут ми маємо справу з політичною теорією тіла або, точніше, з людською фізіологією. Див. також прим. 32 до розділу 5 та прим. 59 до розділу 10.

6.14. Побіжну згадку про рівність (подібну до тієї, що є в «Горгії», 483 c-d; див. також цю примітку далі і прим. 47 до цього розділу) — можна знайти у Главконовій промові у «Державі», 359 с, але це питання не було розвинуте далі. (Стосовно цього фрагмента див. прим. 50 до даного розділу.)