Розділ «6.5. Статистичні методи встановлення зв'язків між явищами»

Таблиця 6.25. Експериментальні показники дослідження

Проміжні розрахунки сум для хі, уі, х], у2, хіуі виконані в таблиці 6.26. Вибіркові середні (середні арифметичні) значення х і у:

Таблиця 6.26

Вибіркові дисперсії і кореляційний момент величин х і у:

Значення коефіцієнта кореляції і коефіцієнтів регресії за даними вибірки:

Отже, вибіркові прямі регресії у на х і х на у описуються рівняннями: у - 1,96 = 0,43 (х - 2,50); х - 2,50 = 1,62 (у - 1,96).

Нелінійна кореляція

Множинна кореляція

Процес, що характеризується залежностями між трьома, чотирма і більше змінними, вивчають методами множинної кореляції. Розглядаючи одну із змінних (у) як функцію, а інші (и, V, ..., ї) як аргументи, можна визначити середні значення у для будь-якої сукупності значень и, V, ..., ї і скласти рівняння множинної регресії:

У випадку кореляції між трьома змінними рівняння регресії геометрично зображується у вигляді деякої поверхні, навколо якої більше чи менше розсіяні дослідні точки.

Подібно до парної кореляції загальну дисперсію змінної у, що розглядається як функція, можна подати у вигляді суми систематичної аг-(и^ п і випадкової о-уу складових:

Тоді відношення

буде називатися множинним кореляційним відношенням у по и, V, ... і ґ.

Як і при парній кореляції, множинне кореляційне відношення знаходиться у межах від 0 до 1. При г| = 1 залежність у і и, V, ... , ґ є функціональною. При г| = 0 йде мова про відсутність кореляції між у і и, V, ... , ґ. Стосовно до кореляції трьох змінних поверхня регресії у цьому випадку буде площиною з рівнянням у = С, яка паралельна до координатної площини (и, V).

В особливо важливому для практики випадку, коли рівняння множинної регресії є лінійним, множинне кореляційне відношення т]. перетворюється в множинний, або сукупний, коефіцієнт кореляції /? У . Сукупний коефіцієнт гі,р....,£ кореляційного зв'язку з коефіцієнтами кореляції для кожної пари змінних певними співвідношеннями. Зокрема, для лінійної кореляції величини у з величинами и, V таке співвідношення має вигляд

Сукупний коефіцієнт кореляції /? У і коефіцієнти парної кореляції між у і кожною з величин и, V пов'язані співвідношеннями:

Якщо при вивченні кореляції трьох змінних знайдені коефіцієнти кореляції між кожною парою з них, з'являється можливість виключити одну з цих змінних, тобто визначити кореляцію двох інших змінних за умови, що ця змінна залишається незмінною. Коефіцієнти кореляції, що характеризують отримані при цьому залежності, називаються частковими коефіцієнтами кореляції. Коли кожній із трьох змінних надати відповідно номери 1, 2, 3, то загальну формулу для визначення часткових коефіцієнтів кореляції можна подати у такому вигляді:

де г12(3) - частковий коефіцієнт кореляції між між змінними 1 і 2 при виключенні змінної 3;

г12, г13, г23 - загальні коефіцієнти кореляції між кожною парою змінних.

Приклад. Коефіцієнти парної кореляції між трьома експериментальними величинами - у, и і V - складають: гуи = 0,40; гу" = 0,20, ги" = 0,80. Потрібно визначити сукупний коефіцієнт кореляції показника у за показниками и, V і часткові коефіцієнти кореляції між у, и при виключенні V і між у, V при виключенні и.