Розділ «Додаток»

Задача

Доведіть, що:

«Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним».

Доведіть від супротивного, що обернене твердження невірне.

Розв’язання

Спочатку нам треба визначити, яка зі сторін трикутника, сторони якого виражені формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1), є найдовшою. Це можна виразити так:

n2 + 1 – 2n = (n – 1)2,

і якщо n > 1, тоді (n – 1)2 > 0.

Отже, n2 + 1 – 2n > 0,

отже, n2 + 1 > 2n.

Аналогічно (n2 + 1) – (n2 – 1) = 2,

отже, n2 + 1 > n2 – 1.

Це означає, що n2 + 1 є найдовшою стороною трикутника, сторони якого виражені формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1).

Це також можна продемонструвати за допомогою наступного графіка (але це нічого не доводить):

Згідно з теоремою Піфагора, якщо сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, то цей трикутник є прямокутним. Отже, для того, щоби довести, що цей трикутник прямокутний, нам треба показати це на наступному прикладі.

Сума квадратів двох катетів дорівнює (n2 – 1)2 + (2n)2

(n2 – 1)2 + (2n)2 =

= n4 – 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1.