Розділ «2.9 Від геометричного методу до аналітичної механіки»

У XVIII-XIX ст. багато фізиків і філософів вдавалися до серйозного аналізу й перегляду вчення Ньютона про простір і час. З того часу, як основи класичної механіки" набули завдяки Ньютонові своєї завершеної форми, їх значення продовжувало залишатися предметом суперечок — принаймні до 1905 р. Боротьба розгорталася на найрізноманітніших ділянках науки й життя. Теорія перевірялася в експедиціях, в астрономічних спостереженнях, в обчисленнях математиків, обговорювалася у філософських і наукових дискусіях, викладалася в підручниках і монографіях.

Там, де в Ньютона йшлося про абсолютний простір і час, де він посилався при цьому на експерименти, деякі з його послідовників заявляли, що вони не потребують таких гіпотез і навіть доходило до того, що вони зводили його другу аксіому до простого визначення; через це відмінність між математикою і фізикою як експериментальною наукою сильно зміщувалася за рахунок останньої, від якої було відділено так звану чисту механіку.

Інші, навпаки, наполягали на істотно експериментальному характері цієї аксіоми. Сторони, які брали участь у цих дуже заплутаних суперечках, намагалися навести численні аргументи на підтримку своїх точок зору.

"Начала" Ньютона були викладені важкою геометричною мовою. Доведення були громіздкі та складні. У XVIII ст. в механіку проникають методи диференціального й інтегрального числення, які не наважився застосувати у своїй основній праці один із творців цих методів.

У XVIII ст. відбувалися не тільки перетворення методів ньютонівської механіки. Це століття відзначене пошуками загальних принципів механіки, еквівалентних законам Ньютона, або навіть більш загальних, ніж ці принципи. У результаті цих пошуків було відкрито принципи можливих переміщень у статипі, принцип Даламбера й принцип найменшої дії Мопертюї-Ейлера в динаміці.

2.9.1 Принцип найменшої дії

2.9.2 Принцип Даламбера

Основна праця Ж.Л. Даламбера (1717-1783) — "Трактат про динаміку" — була опублікована в 1743 р.

Перша частина трактату присвячена побудові аналітичної статики. Тут Даламбер формулює "основні принципи механіки", серед яких "принцип інерції", "принцип додавання рухів" і "принцип рівноваги".

"Принцип інерції" сформульований окремо для випадку спокою і для випадку рівномірного прямолінійного руху. "Силою інерції, — пише Даламбер, т я разом з Ньютоном називаю властивість тіла зберігати той стан, в якому воно перебуває".

"Принцип додавання рухів" являє собою закон додавання швидкостей і сил за правилом паралелограма. На основі цього принципу Даламбер вирішує задачі статики.

"Принцип рівноваги" сформульовано у вигляді такої теореми: "Якщо два тіла що рухаються зі швидкостями, оберненопропорційними їхнім масам, мають протилежні напрямки, так що одне тіло не може рухатися, не зрушуючи з місця інше тіло, то ці тіла перебуватимуть у стані рівноваги". У другій частині "Трактату" Даламбер запропонував загальний метод складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, заснований на зведенні задачі динаміки до статики. Він сформулював правило для будь-якої системи матеріальних точок, назване згодом "принципом Даламбера", відповідно до якого прикладені до точок системи сили можна розкласти на "діючі", тобто такі, які спричинюють прискорення системи, і "загублені", необхідні для рівноваги системи. Даламбер вважає, що сили, які відповідають "загубленим" прискоренням, утворюють таку сукупність, яка ніяк не впливає на фактичну поведінку системи. Іншими словами, якщо до системи прикласти тільки сукупність "загублених" сил, то система залишиться в спокої. Сучасне формулювання принципу Даламбера дав М Є. Жуковський у своєму "Курсі теоретичної механіки": "Якщо в який-небудь момент часу зупинити систему, що рухається, і додати до неї, крім її рушійних сил, ще всі сили інерції, що відповідають даному моменту часу, то спостерігатиметься рівновага; при цьому всі сили тиску, натягу й т.д., що розвиваються між частинами системи при такій рівновазі, будуть справжніми силами тиску, натягу й т.д. при русі системи в розглянутий момент часу". Слід зазначити, що сам Даламбер при викладі свого принципу не вдавався ні до поняття сили (вважаючи, що воно не є достатньо чітким, щоб входити в перелік основних понять механіки), ні тим більше до поняття сили інерції. Виклад принципу Даламбера із застосуванням терміна "сила" належить Лагранжу, який у своїй "Аналітичній механіці" дав його аналітичне вираження у формі принципу можливих переміщень. Саме Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) і особливо Леонардо Ейлер (1707-1783) відііграли істотну роль в остаточному перетворенні механіки на аналітичну механіку.

2.9.3 Аналітична механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла Ейлера

2.9.4 Аналітична механіка системи матеріальних точок і тіл Лагранжа

Лагранж (1736—1813) остаточно порвав з геометричними методами Ньютона і з гордістю згявляв1 що в його "Аналітичній механіці" практично відсутні будь-які креслення. "Я поставив собі за мету, — пише Лагранж, — звести теорію механіки й методи вирішення пов'язаних з нею задач до загальних формул, простий розвиток яких містить всі рівняння, необхідні для вирішення кожної задачі". Сам Лагранж характеризував свої методи в такий спосіб: вони "не вимагають ні побудов, ні геометричних або механічних міркувань; вони потребують тільки планомірного й одноманітного ходу алгебраїчних операцій. Усі прихильники аналізу (аналізу нескінченно малих) із задоволенням переконаються в тому, що механіка стає новою галуззю аналізу". Ця характеристика означає, що аналітична механіка Лагранжа є галуззю аналізу: вона є механікою, позбавленою "механічних міркувань", тому що в ній зазначено загальні методи складання рівнянь для будь-якої задачі механіки, після чого вирішення стає суто математичною проблемою.

Як було зазначено вище, праця Ейлера — це механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла. Лагранж об'єднав механіку системи матеріальних точок і тіл та створив однаковий і загальний метод зведення механічних задач до вирішення відповідних математичних задач. При цьому він, природно, виходив з певних фізичних та експериментальних положень.

"Механіка" Лагранжа поділяється на дві частини: статику й динаміку. Статика Лагранжа базується на принципі віртуальних (можливих) швидкостей. "Під віртуальною швидкістю потрібно розуміти швидкість, яку тіло, що перебуває в рівновазі, здатне набути в той момент, коли рівновага порушена, тобто ту швидкість, яку б тіло фактично мало в першу мить свого руху". Принцип віртуальних швидкостей Лаг-ранж формулює в такий спосіб: "Якщо яка-небудь система, що складається з будь-якої кількості тіл або точок, на кожну з яких діють будь-які сили, знаходиться в рівновазі, і якщо ця система набуває будь-якого малого руху, у результаті якого кожна точка проходить нескінченно малий шлях, що являє собою її віртуальну швидкість, то сума сил, помножених кожна відповідно на шлях, який проходить у напрямку сили точка, в якій цю силу прикладено, завжди дорівнює нулю, якщо малі шляхи, пройдені в напрямку дії сил, вважати позитивними, а пройдені в протилежному напрямку вважати негативними".

Уводячи цей принцип, Лагранж посилався на дані досвіду. Він указував на загальний закон рівноваги машин: відношення сил обернене до відношення швидкостей точок, до яких вони прикладені, причому швидкості повинні вимірюватися в напрямку дії сил. Це положення, узяте в загальному вигляді, і є принципом віртуальних швидкостей, який "можна розглядати як своєрідну аксіому механіки. Утім, Лагранж навів і два докази принципу віртуальних швидкостей, один з яких заснований на "принципі блоків".

У динаміці Лагранж спирається на два закони: закон інерції і закон додавання рухів (за правилом паралелограма). Другий закон механіки Ньютона Лагранж виводить із цих двох законів.