Аналітична динаміка Лагранжа грунтується на загальній формулі, яку в наш час називають рівнянням Даламбера — Лагранжа, або загальним рівнянням динаміки. "Розвиток цієї формули, якщо при цьому взяти до уваги умови, які залежать від природи системи, дає всі рівняння, необхідні для визначення руху кожного тіла, після цього потрібно ці рівняння тільки інтегрувати, що є вже завданням аналізу".
Спираючись на своє загальне рівняння динаміки, Лагранж вивів диференціальні рівняння руху у двох виглядах, що відповідають двом видам рівнянь статики. Це відомі рівняння руху Лагранжа першого й другого роду. Рівняння руху другого роду можна скласти, знаючи загальне вираження тільки для двох величин: кінетичної енергії системи і її потенційної енергії. Кількість цих рівнянь мінімальна, вона дорівнює числу ступенів свободи системи. Разом із тим рівняння Лагранжа є дуже загальними; їх можна використовувати для різних фізичних систем, якщо стан таких систем можна описати за допомогою значень їх кінетичної і потенційної енергій. Крім того, рівняння руху у формі Лагранжа другого роду мають визначену структуру з математичної точки зору. Тому завдання їх вирішення (інтегрування) у загальному вигляді є досить визначеним, щоб досліджувати його суто математично.
У перші роки своєї наукової діяльності у зв'язку з роботами, пов'язаними з варіаційним численням, Лагранж багато уваги приділяв принципу найменшої дії. Він формулює цей принцип з повною визначеністю як суто механічну теорему, справедливу за певних умов. Це формулювання приводить до вже знайомого запису: перетворюється на нуль варіація суми величин виду
V - її швидкість,
Ірландський математик, механік та астроном У. Р. Гамільтон, оцінюючи внесок, зроблений Лагранжем у розвиток механіки після Галілея і Ньютона, писав: "З усіх послідовників цих блискучих учених Лагранж, мабуть, більше, ніж який-небудь інший аналітик, зробив для того, щоб розширити й надати стрункості подібним до дедуктивних дослідженням, довівши, що найрізноманітніші наслідки, що стосуються руху системи тіл, можна вивести з однієї основної формули. При цьому краса методу настільки відповідає достоїнству результату, що ця велика робота перетворюється на своєрідну математичну поему". Цією поемою завершився плідний період розробки основ теоретичної механіки. Механіка стає зрілою, цілком сформованою галуззю природознавства.
2.9.5 Розвиток аналітичної механіки
2.9.5.1 Принцип Гамільтона
2.9.5.2 К. Г. Якобі
2.9.5.3 М. В. Остроградський
2.9.5.4 Немеханічне трактування принципу найменшої дії Гельмгольца
2.9.5.5 Принцип найменшого примусу Гаусса
2.9.5.6 "Механіка без сили" Герца
2.10 Виникнення й розвиток електродинаміки
Сторінки
В нашій електронній бібліотеці ви можете безкоштовно і без реєстрації прочитати «Концепції сучасного природознавства» автора Автор невідомий на телефоні, Android, iPhone, iPads. Зараз ви знаходитесь в розділі „2.9 Від геометричного методу до аналітичної механіки“ на сторінці 2. Приємного читання.